On the representation as exterior differentials of closed forms with L 1 -coefficients

Sur la représentation comme différentielles extérieures des formes fermées à coeffcients L1

Eduard Curc˘ (1, 2, 3)

1 ICJ - Institut Camille Jordan
2 UCBL - Université Claude Bernard Lyon 1
3 EDPA - Équations aux dérivées partielles, analyse

Let $N\ge 2$. If $g\in L^{1}_{c}(\textbf{R}^{N})$ has zero integral, then the equation $\div X=g$ need not have a solution $X\in W^{1,1}_{loc}(\textbf{R}^{N} ; \textbf{R}^{N})$ (Wojciechowski 1999) or even $X\in L^{N/(N-1)}_{loc}$ $(\textbf{R}^{N} ; \textbf{R}^{N})$ (Bourgain and Brezis 2003). Using these results, we prove that, whenever $N\geq3$ and $2\le \ell\le N-1$, there exists some $\ell$-form $f\in L^{1}_{c}(\textbf{R}^{N} ; \Lambda^{\ell})$ such that $df=0$ and the equation $d\lambda=f$ has no solution $\lambda\in W^{1,1}_{loc}(\textbf{R}^{N} ; \Lambda^{\ell-1})$. This provides a negative answer to a question raised by Baldi, Bruno and Pansu (2019).

Soit $N\geq 2$. Si $g\in L_{c}^{1}(\mathbf{R}^{N})$ est d'integrale nulle, alors en g\'en\'eral il n'est pas possible de r\'esoudre l'\'equation $\div X=g$ avec $X\in W_{loc}^{1,1}(\mathbf{R}^{N};% \mathbf{R}^{N})$ (Wojciechowski 1999), ou m\^eme $X\in L^{N/(N-1)}_{loc}$ $(\textbf{R}^{N} ; \textbf{R}^{N})$ (Bourgain et Brezis 2003). En utilisant ces r\'{e}sultats, nous prouvons que, pour $N\geq 3$ et $2\leq \ell \leq N-1$, il existe une $\ell$-forme $f\in L_{c}^{1}(% \mathbf{R}^{N};\Lambda ^{\ell })$ avec $df=0$ et telle que l'\'{e}quation $% d\lambda =f$ \ n'ait pas de solution $\lambda \in W_{loc}^{1,1}(\mathbf{R}% ^{N};\Lambda ^{\ell -1})$. Ceci donne une r\'eponse n\'egative \`{a} une question pos\'{e}e par Baldi, Bruno and Pansu (2019).

Domaines: Mathématiques [math]

Eduard Curc˘. On the representation as exterior differentials of closed forms with L 1 -coefficients. 2019. ⟨hal-02105413v1⟩