Geometry of curved Yang-Mills-Higgs gauge theories
Géométrie des théories de jauge courbes de Yang-Mills-Higgs
Résumé
This thesis is devoted to the study of the geometry of curved Yang-Mills-Higgs gauge theory (CYMH GT), a theory introduced by Alexei Kotov and Thomas Strobl. This theory reformulates classical gauge theory, in particular, the Lie algebra (and its action) is generalized to a Lie algebroid E, equipped with a connection \nabla, and the field strength has an extra term \zeta; there is a certain relationship between \zeta and \nabla, for example, if \zeta \equiv 0, then \nabla is flat. In the classical situation E is an action Lie algebroid, a combination of a trivial Lie algebra bundle and a Lie algebra action, \nabla is then the canonical flat connection with respect to such an E, and \zeta\equiv 0. The main results of this Ph.D thesis are the following: • Reformulating curved Yang-Mills-Higgs gauge theory, also including a thorough introduction and a coordinate-free formulation. Especially the infinitesimal gauge transformation will be generalized to a derivation on vector bundle V-valued functionals. Those vector bundles V will be the pullback of another bundle W, and the gauge transformation as derivation will be induced by a Lie algebroid connection on W. This also supports the usage of arbitrary types of connections on W in the definition of the infinitesimal gauge transformation. • Studying functionals as parameters of the infinitesimal gauge transformation, supporting a richer set of infinitesimal gauge transformations, especially the parameter itself can have a non-trivial gauge transformation. The discussion about the infinitesimal gauge transformation is also about what type of connection for the definition of the infinitesimal gauge transformation should be used, and this is argued by studying the commutator of two infinitesimal gauge transformations. We take the connection on W then in such a way that the commutator is again an infinitesimal gauge transformation; for this flatness of the connection on W is necessary and sufficient. For W= E and W = \mathrm{T}N we use the so-called basic connection which is not the canonical flat connection in the classical non-abelian situation; this is not the connection normally used in the standard formulation, but it reflects the symmetries of gauge theory better than the usual connection, which is in general not even flat. For W = \mathbb{R} the gauge transformation is uniquely given as the Lie derivative of a vector field on the space of fields given by the field of gauge bosons and the Higgs field, and the commutator is then just the Lie bracket of vector fields; in this case the bracket will also give again a vector field related to gauge transformations. • Defining an equivalence of CYMH GTs given by a field redefinition which is a transformation of structural data like the field of gauge bosons. In order to preserve the physics, this equivalence is constructed in such a way that the Lagrangian of the studied theory is invariant under this field redefinition. It is then natural to study whether there are equivalence classes admitting representatives with flat \nabla and/or zero \zeta: 1. On the one hand, the equivalence class related to E = \mathrm{T}\mathds{S}^7, \mathds{S}^7 the seven-dimensional sphere, admits only representatives with non-flat \nabla, while locally the equivalence class of all tangent bundles admits a representative with flat \nabla. 2. On the other hand, the equivalence class related to "E= LAB" (Lie algebra bundle) has a relation with an obstruction class about extending Lie algebroids by LABs; this will imply that locally there is always a representative with flat \nabla while globally this may not be the case, similar to the previous bullet point. Furthermore, a canonical construction for equivalence classes with no representative with zero \zeta is given, which also works locally, and an interpretation of \zeta as failure of the Bianchi identity of the field strength is provided.
Cette thèse est consacrée à l'étude de la géométrie de la théorie de jauge Yang-Mills-Higgs courbe (\textbf{CYMH GT}), une théorie introduite par Alexei Kotov et Thomas Strobl. Cette théorie reformule la théorie de jauge classique, en particulier, l'algèbre de Lie (et son action) est généralisée à un algébroïde de Lie E, équipé d'une connexion \nabla, et l'intensité du champ a un terme supplémentaire \zeta; il existe une certaine relation entre \zeta et \nabla, par exemple, si \zeta \equiv 0, alors \nabla est plat. Dans la situation classique E est un algébroïde de Lie d'action, une combinaison d'un fibré trivial d'algèbre de Lie et d'une action d'algèbre de Lie, \nabla est alors la connexion plate canonique par rapport à un tel E, et \zeta\equiv 0. Les principaux résultats de cette thèse de doctorat sont les suivants: • Reformulation de la théorie de jauge courbée de Yang-Mills-Higgs, comprenant également une introduction approfondie et une formulation sans coordonnées. En particulier, la transformation de jauge infinitésimale sera généralisée à une dérivation sur les fonctionnelle valuées des fibrés de vecteurs V. Ces fibrés de vecteurs V seront le pullback d'un autre fibré W, et la transformation de jauge en tant que dérivation sera induite par une connexion algébroïde de Lie sur W. Cela permet également d'utiliser des types arbitraires de connexions sur W dans la définition de la transformation de jauge infinitésimale. • L'étude des fonctionnelles comme paramètres de la transformation de jauge infinitésimale permet d'obtenir un ensemble plus riche de transformations de jauge infinitésimales. La discussion sur la transformation de jauge infinitésimale porte également sur le type de connexion à utiliser pour la définition de la transformation de jauge infinitésimale, ce que nous expliquons en étudiant le commutateur de deux transformations de jauge infinitésimales. Nous prenons alors la connexion sur W de telle sorte que le commutateur soit à nouveau une transformation de jauge infinitésimale; pour cela, la planéité de la connexion sur W est nécessaire et suffisante. Pour W= E et W = \mathrm{T}N, nous utilisons la connexion dite de base. Pour W = \mathbb{R}, la transformation de jauge est uniquement donnée comme la dérivée de Lie d'un champ vectoriel sur l'espace des champs donné par le champ des bosons de jauge et le champ de Higgs, et le commutateur est alors simplement le crochet de Lie des champs vectoriels; dans ce cas, le crochet donnera également à nouveau un champ vectoriel lié aux transformations de jauge. • Définir une équivalence de GTs CYMH donnée par une redéfinition de champ qui est une transformation de données structurelles comme le champ des bosons de jauge. Afin de préserver la physique, cette équivalence est construite de telle manière que le Lagrangien de la théorie étudiée est invariant sous cette redéfinition de champ. Il est alors naturel d'étudier s'il existe des classes d'équivalence admettant des représentants avec des \nabla plats et/ou des \zeta nuls: • D'une part, la classe d'équivalence relative à E = \mathrm{T}\mathds{S}^7, \mathds{S}^7 la sphère à sept dimensions, n'admet que des représentants avec des \nabla non plats, alors que localement la classe d'équivalence de tous les fibrés tangents admet un représentant avec des \nabla plats. • D'autre part, la classe d'équivalence liée à "E= LAB" (Lie algebra bundle) a une relation avec une classe d'obstruction sur l'extension des algèbres de Lie par les LAB; cela impliquera que localement, il existe toujours un représentant avec \nabla plat alors que globalement, cela peut ne pas être le cas, de manière similaire au point précédent. De plus, une construction canonique pour les classes d'équivalence sans représentant avec \zeta nul est donnée, qui fonctionne également localement, et une interprétation de \zeta comme échec de l'identité de Bianchi de l'intensité du champ est fournie.
Origine : Version validée par le jury (STAR)